【Édition du Ministère de l'Éducation】Mathématiques du collège, 7e année, 2e semestre : La rencontre des angles : du sommet opposé à l'état particulier de perpendicularité

Imaginez une paire de ciseaux complètement ouverte ou la ligne de départ d'une piste d'athlétisme. Dès que les deux lames se croisent, la magie de la géométrie commence. À ce point d'intersection, les angles apparaissent par paires : certains s'ajoutent pour former un angle plat de 180°, d'autres sont symétriques par rapport au sommet. Lorsque ces deux droites atteignent leur état le plus « rigide » — c'est-à-dire lorsque l'un des angles mesure 90° — elles entrent dans une relation de perpendicularité extrêmement particulière.perpendicularitéun état de balance particulièrement singulier.

Les relations fondamentales entre droites sécantes

Dans un même plan, lorsqu'une droite coupe une autre, deux types importants de relations angulaires apparaissent :

angles adjacents sur une droite (adjacent angles on a straight line) : ils partagent un côté commun $OC$, et leurs autres côtés sont des prolongements opposés. Numériquement, les angles adjacents sont complémentaires (leur somme est égale à $180^\circ$).
angles opposés (opposite angles) : ils ont un sommet commun $O$, et les côtés de l'un sont des prolongements opposés des côtés de l'autre.

Raisonnement déductif : les angles opposés sont égaux

Pourquoi les angles opposés sont-ils toujours égaux ? Examinons cela avec une logique rigoureuse :

$because$ $\angle 1$ et $\angle 2$ sont complémentaires (définition des angles adjacents)

$because$ $\angle 3$ et $\angle 2$ sont complémentaires (définition des angles adjacents)

$\therefore$ $\angle 1 = \angle 3$ (les suppléments du même angle sont égaux)

Perpendicularité : un cas particulier d'intersection

Perpendiculaire (Perpendicular) est un état extrême d'intersection. Lorsque deux droites se coupent et forment quatre angles dont un mesure $90^\circ$, ces deux droites sont perpendiculaires l'une à l'autre. Une de ces droites est appeléedroite perpendiculaire, et leur point d'intersection est appelépied de la perpendiculaire.

Critères et propriétés fondamentaux

Langage symbolique : si les droites $a$ et $b$ sont perpendiculaires, on les note $a \perp b$ ; si les segments $AB$ et $CD$ sont perpendiculaires, on les note $AB \perp CD$.
Axiome de perpendicularité : dans un même plan, par un point donné, il existe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée. Cela établit launicité.
le segment perpendiculaire est le plus court : parmi tous les segments reliant un point extérieur à une droite aux points de cette droite, le segment perpendiculaire est le plus court.

🎯 Règle fondamentale

从“相交”到“垂直”，是角度从变动到定格的过程。掌握符号 $ecause$ (因为) 与 $ herefore$ (所以) 的规范表述，是跨入几何证明大门的钥匙。

$\angle AOC = 90^\circ \iff AB \perp CD$

QUESTION 1

Comme indiqué sur le schéma, les droites $a$ et $b$ se coupent, sachant que $\angle 1 = 40^\circ$. Quelles sont les mesures respectives de $\angle 2$ et $\angle 3$ ?

$\angle 2=140^\circ, \angle 3=40^\circ$

$\angle 2=40^\circ, \angle 3=140^\circ$

$\angle 2=140^\circ, \angle 3=140^\circ$

$\angle 2=50^\circ, \angle 3=40^\circ$

QUESTION 2

Quelle est la relation entre deux droites qui se coupent en formant quatre angles égaux ?

parallèles

perpendiculaires l'une à l'autre

confondues

impossible à déterminer

QUESTION 3

Laquelle des affirmations suivantes concernant les droites perpendiculaires est correcte ?

On peut tracer une infinité de droites perpendiculaires à une droite donnée passant par un point

Dans un même plan, par un point donné, il existe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée

Le segment perpendiculaire est la distance d'un point à une droite

Deux droites qui se coupent sont nécessairement perpendiculaires

QUESTION 4

Comme indiqué sur le schéma, deux baguettes sont fixées ensemble pour former un modèle d'intersection. Si $\angle \alpha = m^\circ$, quelle est la mesure de l'angle adjacent ?

$m^\circ$

$(180 - m)^\circ$

$(90 - m)^\circ$

Impossible à calculer

QUESTION 5

Lors du pose de rails, sachant que l'angle entre les rails et le traversin $\angle 2 = 90^\circ$, quel angle faut-il mesurer pour déterminer si les deux rails sont parallèles ?

Mesurez $\angle 5$ ; si $\angle 5 = 90^\circ$, alors les rails sont parallèles

Mesurez $\angle 5$ ; si $\angle 5 = 45^\circ$, alors les rails sont parallèles

Il suffit de regarder $\angle 2$

Mesurez la longueur du traversin

QUESTION 6

Comme indiqué sur le schéma, $PO \perp l$, et le point A se déplace sur la droite $l$. Comparez les longueurs des segments $PO$ et $PA$. Quelle est la conclusion ?

$PO > PA$

$PO = PA$

$PO \le PA$

Impossible de comparer

QUESTION 7

Que signifient respectivement les symboles « $\because$ » et « $\therefore$ » ?

car, donc

donc, car

égal à, congruent à

pied de la perpendiculaire, perpendiculaire

QUESTION 8

Si $\angle 1$ et $\angle 2$ sont des angles adjacents, et $\angle 1 = 35^\circ$, quelle est la mesure de $\angle 2$ ?

$35^\circ$

$145^\circ$

$55^\circ$

$155^\circ$

QUESTION 9

Tracer une perpendiculaire à un segment, en réalité, consiste à quoi ?

tracer une perpendiculaire au milieu du segment

tracer une perpendiculaire à la droite contenant ce segment

tracer une perpendiculaire à une extrémité du segment

tracer un segment plus long